2D 柏林噪声的原理

0. 简介

柏林噪声（Perlin Noise） 是一种广泛应用于计算机图形学的伪随机函数，常用于生成自然风格的纹理、地形、云彩等，例如 Minecraft 的世界生成就采用了柏林噪声。

1. 核心思路

柏林噪声的生成流程如下：

1. 将平面划分为整数网格单元
2. 在每个格点处分配一个伪随机梯度向量
3. 输入点根据与四个格点的相对位置计算点积
4. 平滑插值
5. 使用平滑插值函数对四个点积结果插值
6. 最终返回平滑过渡的噪声值

2. 生成过程

2.1. 划分网格

通常情况下，我们会将整个图划分为边长为 1 的网格，如下图所示：

假设我们要计算某个二维位置点 $(x, y)$ 的噪声值，首先我们要找到它所在的整数网格单元。（一般情况下，我们定义网格单元的长度为 1 ）即：

$x_0 = floor(x)$ $y_0 = floor(y)$ $x_1 = x_0 + 1$ $y_1 = y_0 + 1$

该点 $(x, y)$ 会处于四个整数格点 $(x_0,y_0)$、$(x_1,y_0)$、$(x_0,y_1)$、$(x_1,y_1)$ 形成的一个单位正方形内部。

2.2. 分配伪随机梯度向量

在每个格点上，我们需要分配一个伪随机梯度向量。通常情况下，这些向量是从一个预定义的方向集合中随机选择的，例如以下的八个方向：

[(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), 
 (1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1)]

每个格点 $(x_0, y_0)$、$(x_1, y_0)$、$(x_0, y_1)$、$(x_1, y_1)$ 都会被分配一个梯度向量 $g_{00}$、$g_{10}$、$g_{01}$、$g_{11}$，如下图所示：（注：为方便展示，后续图只会展示一个格子）

2.3. 计算点积

接下来我们计算输入点 $(x, y)$ 与各格点之间的相对向量，并将其与该格点的梯度向量做点积（dot product）。这个点积的结果表示：

“该点在这个方向上与梯度方向的匹配程度”。

设：

$\vec{d}_{00} = (x - x_0, y - y_0)$ $\vec{d}_{10} = (x - x_1, y - y_0)$ $\vec{d}_{01} = (x - x_0, y - y_1)$ $\vec{d}_{11} = (x - x_1, y - y_1)$

我们计算：

$n_{00} = \vec{g}_{00} \cdot \vec{d}_{00}$ $n_{10} = \vec{g}_{10} \cdot \vec{d}_{10}$ $n_{01} = \vec{g}_{01} \cdot \vec{d}_{01}$ $n_{11} = \vec{g}_{11} \cdot \vec{d}_{11}$

点积得到的是该点在当前格点梯度方向上的“投影值”。如下图所示：

2.4. 平滑插值

由于我们只得到了离散的四个角落的点积值，我们需要对这些值进行插值，才能获得输入点 $(x, y)$ 的最终噪声值。

但如果直接使用线性插值，会在格点边界出现不连续。因此，Perlin 引入了一个平滑函数 fade(t) 来进行插值平滑过渡：

def fade(t):
    return 6 * t**5 - 15 * t**4 + 10 * t**3

该函数具有良好的光滑性，在 $t=0$ 和 $t=1$ 处一阶导数和二阶导数均为 0。

设：

$u = fade(x - x_0)$ $v = fade(y - y_0)$

2.5. 线性插值

为了求得输入点 $(x, y)$ 的噪声值，我们需要先求出 $(x ,y_{0})$ 和 $(x, y_{1})$ 两个点的插值。

插值函数 lerp(x0, x1, t) 定义为：

def lerp(x0, x1, t):
    return x0 + t * (x1 - x0)

因此，要求出$(x ,y_{0})$ 和 $(x, y_{1})$ 两个点的插值 $ix_0$ 和 $ix_1$，我们要使用以下公式：

$ix_0 = lerp(n_{00}, n_{10}, u)$ $ix_1 = lerp(n_{01}, n_{11}, u)$

此时我们得到了两个插值结果 $ix_0$ 和 $ix_1$，如图所示

然后在 y 方向进行插值：

$value = lerp(ix_0, ix_1, v)$ 如下图所示：

最终得到该点 $(x, y)$ 的噪声值 value，它将在空间中连续且平滑变化。

通过Python实现的柏林噪声图如下

3. 步骤的必要性

3.1. 划分网格过大/过小会发生什么

如果网格划分过大，那么整个噪声图会变得非常平滑，缺乏细节，相邻像素之间变化非常缓慢，看上去像是一大片模糊的区域，如图所示（width=height=scale=500）：

如果网格划分过小，那么噪声图会变得非常嘈杂，类似白噪声或像素化图像，不再平滑，且插值区间变窄，容易看出格子痕迹，如图所示（width=height=500，scale=10）：

3.2. 梯度向量的必要性

如果梯度向量不随机分配，而是固定方向（如全部为 $(1, 0)$），则噪声图将失去随机性，变得非常规律和单调，如图所示：

3.3. 平滑插值的必要性

如果不使用平滑插值，即：

def fade(t):
    return t

则每个格子内点的噪声与格点的左下角的点有强关联，噪声图会出现明显的网格边缘，如图所示：